Mathematics, Informatics, Physics: Science and Education

Scientific journal

Vol. 1 No. 1 (2024)
Actual problems of mathematics

Existence of supersonic periodic traveling waves in discrete Klein-Gordon type equations with nonlocal interaction

pdf (Ukrainian)
Serhii Bak
Vinnytsia Mykhailo Kotsiubynskyi State Pedagogical University
Bio
Halyna Kovtoniuk
Vinnytsia Mykhailo Kotsiubynskyi State Pedagogical University
Bio

Published 2024-10-17

Keywords

  • periodic traveling waves, Klein-Gordon type equations, nonlocal interaction, critical points, mountain pass theorem

Copyright (c) 2024 Сергій Бак, Галина Ковтонюк (Автор)

Creative Commons License

This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

How to Cite

Existence of supersonic periodic traveling waves in discrete Klein-Gordon type equations with nonlocal interaction. (2024). Mathematics, Informatics, Physics: Science and Education, 1(1), 1-12. https://doi.org/10.31652/3041-1955-2024-01-01
Crossref
Scopus
Google Scholar
Europe PMC

Abstract

The article is devoted to discrete Klein-Gordon type equations that describe infinite chains of nonlinear oscillators with nonlocal interactions. This implies that each oscillator interacts with several of its neighbors on both sides. The main result of the article concerns the existence of periodic traveling waves in such equations. Sufficient conditions for the existence of such waves were established using the variational method and the mountain pass theorem.

pdf (Ukrainian)

Downloads

Download data is not yet available.

References

  1. Aubry S. Breathers in nonlinear lattices: Existence, linear stability and quantization. Physica D. 1997. Vol. 103. P. 201-250. https://doi.org/10.1016/S0167-2789(96)00261-8
  2. Bak S. Periodic traveling waves in the system of linearly coupled nonlinear oscillators on 2D lattice. Archivum Mathematicum. 2022. Vol. 58, № 1. P. 1-13. https://doi.org/10.5817/AM2022-1-1
  3. Bak S. Periodic traveling waves in a system of nonlinearly coupled nonlinear oscillators on a two-dimensional lattice. Acta Mathematica Universitatis Comenianae. 2022. Vol. 91, № 3. P. 225-234.
  4. Bak S. M. Peridoc traveling waves in chains of oscillators. Communications in Mathematical Analysis. 2007. Vol. 3, № 1. Р. 19-26.
  5. Bak S. M., Kovtonyuk G. M. Existence of periodic traveling waves in Fermi-Pasta-Ulam type systems on 2D-lattice with saturable nonlinearities. J. Math. Sci. 2022. Vol. 260, № 5. P. 619-629. https://doi.org/10.1007/s10958-022-05715-0
  6. Bak S. M., Kovtonyuk G. M. Periodic traveling waves in Fermi-Pasta-Ulam type systems with nonlocal interaction on 2d-lattice. Mat. Stud. 2023. Vol. 60, № 2. P. 180-190. https://doi.org/10.30970/ms.60.2.180-190
  7. Bak S. N., Pankov A. A. Traveling waves in systems of oscillators on 2D-lattices. J. Math. Sci. 2011. Vol. 174, № 4. P. 916-920. https://doi.org/10.1007/s10958-011-0310-1
  8. Bates P., Zhang C. Traveling pulses for the Klein-Gordon equation on a lattice or continuum with long-range interaction. Discrete and Continuous Dynamical Systems. 2006. Vol. 16, № 1. P. 235-252. https://doi.org/10.3934/dcds.2006.16.235
  9. Braun O. M., Kivshar Y. S. Nonlinear dynamics of the Frenkel-Kontorova model. Physics Reports. 1998. Vol. 306. P. 1-108. https://doi.org/10.1016/S0370-1573(98)00029-5
  10. Braun O. M., Kivshar Y. S. The Frenkel-Kontorova model. Berlin: Springer, 2004. 427 p. https://doi.org/10.1007/978-3-662-10331-9
  11. Ghimenti M., Le Coz S., Squassina M. On the stability of standing waves of Klein-Gordon equations in a semiclassical regime. Discr. Cont. Dyn. Sys. 2013. Vol. 33, № 6. P. 2389-2401. https://doi.org/10.3934/dcds.2013.33.2389
  12. Iooss G., Kirschgässner K. Traveling waves in a chain of coupled nonlinear oscillators. Commun. Math. Phys. 2000. Vol. 211. P. 439-464. https://doi.org/10.1007/s002200050821
  13. Iooss G., Pelinovsky D. Normal form for travelling kinks in discrete Klein-Gordon lattices. Physica D. 2006. Vol. 216. P. 327-345. https://doi.org/10.1016/j.physd.2006.03.012
  14. Makita P. D. Periodic and homoclinic travelling waves in infinite lattices. Nonlinear Analysis. 2011. Vol. 74. P. 2071-2086. https://doi.org/10.1016/j.na.2010.11.011
  15. Pankov A. Traveling Waves and Periodic Oscillations in Fermi-Pasta-Ulam Lattices. London–Singapore: Imperial College Press, 2005. 196 p. https://doi.org/10.1142/9781860947216
  16. Pankov A. Traveling waves in Fermi-Pasta-Ulam chains with nonlocal interaction. Discrete Contin. Dyn. Syst. 2019. Vol. 12, № 7. P. 2097-2113. https://doi.org/10.3934/dcdss.2019135
  17. Rabinowitz P. Minimax methods in critical point theory with applications to differential equations. Providence, R. I.: American Math. Soc. 1986. 100 p. https://doi.org/10.1090/cbms/065
  18. Rapti Z. Multibreather stability in discrete Klein-Gordon equations: Beyond nearest neighbor interactions. Physics Letters A. 2013. Vol. 377. P. 1543-1553. https://doi.org/10.1016/j.physleta.2013.04.035
  19. Wattis J. A. D. Approximations to solitary waves on lattices: III. The monoatomic lattice with second-neighbour interaction. J. Phys. A: Math. Gen. 1996. Vol. 29. P. 8139-8157. https://doi.org/10.1088/0305-4470/29/24/035
  20. Willem M. Minimax theorems. Boston: Birkhäuser. 1996. 162 p. https://doi.org/10.1007/978-1-4612-4146-1
  21. Бак С. М. Біжучі хвилі в ланцюгах осциляторів. Математичні студії. 2006. Т. 26, № 2. С. 140-153.
  22. Бак С. М. Дискретні нескінченновимірні гамільтонові системи на двовимірній ґратці: дис. ... докт. фіз.-мат. наук: 01.01.02. Вінниця, 2020. 336 с.
  23. Бак С. М. Існування дозвукових періодичних біжучих хвиль в системі нелінійно зв’язаних нелінійних осциляторів на двовимірній ґратці. Математичне та комп’ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки. 2014. Вип. 10. С. 17--23.
  24. Бак С. М. Існування надзвукових періодичних біжучих хвиль в системі нелінійно зв’язаних нелінійних осциляторів на двовимірній ґратці. Математичне та комп’ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки. 2015. Вип. 12. С. 5-12.
  25. Бак С. М. Існування періодичних біжучих хвиль в системі нелінійних осциляторів, розміщених на двовимірній ґратці. Математичні студії. 2011. Т. 35, № 1. С. 60-65.
  26. Бак С. М. Існування періодичних біжучих хвиль в системі Фермі-Пасти-Улама на двовимірній ґратці. Математичні студії. 2012. Т. 37, № 1. С. 76-88.
  27. Бак С. М. Періодичні біжучі хвилі в дискретному рівнянні sin-Гордона на двовимірній ґратці. Математичне та комп’ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки. 2013. Вип. 9. С. 5-10.
  28. Бак С. М. Стоячі хвилі в дискретних рівняннях типу Клейна-Ґордона із насичуваними нелінійностями. Математичне та комп’ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки. 2021. Вип. 22. С. 5-19. https://doi.org/10.32626/2308-5878.2021-22.5-19
  29. Бак С. М. Стоячі хвилі в дискретних рівняннях типу Клейна-Ґордона зі степеневими нелінійностями. Науковий вісник Ужгородського університету. Серія: Математика та інформатика. 2021. Том 39, № 2. С. 7-21. https://doi.org/10.24144/2616-7700.2021.39(2).7-21